完美匹配 题解/学习笔记

非常好状压，使我的大脑旋转。

题面 图片格式的题面在文末。

题意

$2*N$ 个点，分为两组。

同一个组内的点没友有边相连。人话：二分图

给出两组点之间的相连状况。

求将两组点一一配对方案数。

数据范围

  • 对于 $60%$ 的数据，$N\leq15$

  • 对于 $100%$ 的数据，$N\leq22$

    一眼状压

暴搜

考虑递归。

从第 $1$ 个点开始枚举，将这个点所有可能匹配递归一遍。时间复杂度 $\text{O}(N!)$，只能拿到 $\mathtt{60 pts}$ 。

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#include <bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
#define int long long
using namespace std;
int n;
bool vis[30];
int a[30][30];
int dfs(int t){
	if(t==n+1){
		return 1;
	}
	else{
		int sum=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(a[t][i]&&!vis[i]){
				vis[i]=true;//将 t 与 i 匹配
				sum+=dfs(t+1);
				vis[i]=false;//重置
			}
		}
		return sum % mod;
	}
}
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			cin>>a[i][j];
		} 
	}
	cout<<dfs(1);
	return 0;
}

逝着将函数纯化

为记忆化做准备。

纯化函数：将函数化为纯函数。

纯函数：无论外部变量如何变化，同一参数返回的结果永远一致的函数。

需要将 vis 数组作为递归函数（dfs）的参数传递。

显然不可能直接传数组。

布尔数组 $→$ 一个二进制串 $→$ 十进制数字

这里不过多解释，请自行阅读状压 $\mathtt{DP}$ 入门教程。

空间复杂度 $2^{22}=4194304$ 完全可以接受。

dfs 函数的参数 s 二进制下的第 $i$ 位表示第 $i$ 个点是否已被选择（或者说是占用）。

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#include <bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
#define int long long
using namespace std;

int getbit(int a,int b){ // 获取 a 的第 b 位，最低位编号为 0
	return (a>>b)&1; 
}
int setbit(int a,int b){// 将 a 的第 b 位设置为 1 ，最低位编号为 0
	return a|(1<<b); 
}

int n;
int a[30][30];

int dfs(int t,int s){
	if(t==n+1){
		return 1;
	}
	else{
		int sum=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(a[t][i]&&!getbit(s,i-1)){
				sum+=dfs(t+1,setbit(s,i-1));
			}
		}
		return sum % mod;
	}
}
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			cin>>a[i][j];
		} 
	}
	cout<<dfs(1,0);
	return 0;
}

添加记忆化

得益于纯函数的特性，程序不必重复计算同一参数下 dfs 函数返回的值。

添加两个数组即可。

布尔类型的 vis[i][j] 数组表示是否已经计算过 dfs(i,j) 的值。

整数类型的 mem[i][j] 数组表示已经计算过的 dfs(i,j) 的值。

空间复杂度 $2^{22}$ ，可以接受。

为什么空间复杂度不是 $N*2^{22}$ ？

事实上，对于一个固定的 s，无论现在正在处理的点（t）究竟是 $1$ 还是 $1e9$ 都没有差别。

至于为什么，只需略加思考可得，对于不同的状态 s ，t 是绝对不可能相同的。

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#include <bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
#define int long long
using namespace std;

int getbit(int a,int b){ // 获取 a 的第 b 位，最低位编号为 0
	return (a>>b)&1; 
}
int setbit(int a,int b){// 将 a 的第 b 位设置为 1 ，最低位编号为 0
	return a|(1<<b); 
}

int n;
int a[30][30];
int mem[5195304];
bool vis[5195304];

int dfs(int t,int s){
	if(t==n+1){
		return 1;
	}
	else{
		if(vis[s]){
			return mem[s];
		}
		vis[s]=true;
		int sum=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(a[t][i]&&!getbit(s,i-1)){
				sum+=dfs(t+1,setbit(s,i-1));
			}
		}
		return mem[s] = sum % mod;
	}
}
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			cin>>a[i][j];
		} 
	}
	cout<<dfs(1,0);
	return 0;
}

题面

image.png

样例

#1

Input
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5
4
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
Output
1
24
Explain
1
4! = 24

#2

Input
1
2
3
4
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Output
1
1
Explain
1
有一组完美匹配

#3

Input
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1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0
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1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
Output
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112